Math

1. 三角函数 1.1 基础定义 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ 1.2 基本恒等式 毕达哥拉斯恒等式: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ 和差公式: \[ \begin{aligned} \sin(\alpha \pm \beta) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha \pm \beta) &= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ \tan(\alpha \pm \beta) &= \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \end{aligned} \] ...

Lean4：定理证明与函数式编程的完美融合 Lean4是一款由微软研究院开发的定理证明器和通用函数式编程语言，它结合了形式化数学证明的强大功能与现代编程语言的实用特性。作为交互式定理证明器(Interactive Theorem Prover, ITP)，Lean4允许数学家和研究者将数学定理转换为可验证的代码形式，确保证明的绝对正确性。同时，作为编程语言，它支持函数式编程范式、依赖类型系统和元编程能力，使开发者能够编写高效且类型安全的代码。Lean4以其强大的类型系统、丰富的数学库Mathlib4（已超过150万行代码）以及与Rust类似的工具链管理（elan、lake）而脱颖而出，正成为数学形式化和程序验证领域的主流工具。 ...

随机变量random variable 随机random vs. 规律deterministic 不同的思维决定了不同的策略，例如红球R和绿球G以RRGRRGRRG的方式出现，很多时候我们会认为规律的结构。但是如果以随机的角度来看，这个事情也是有可能发生的，概率为$P(\underline{RRGRRGRRG})=\left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)\right]^3=\underline{0.325%}$。 ...

微积分Calculus 英文单词 发音 (美式) 中文含义 Calculus /ˈkælkjələs/ 微积分 Derivative /dɪˈrɪvətɪv/ 导数 Integral /ˈɪntɪɡrəl/ 积分 Limit /ˈlɪmɪt/ 极限 Function /ˈfʌŋkʃən/ 函数 Continuity /ˌkɒntɪˈnjuːɪti/ 连续性 Differentiation /ˌdɪfəˌrɛnʃiˈeɪʃən/ 微分 Integration /ˌɪntɪˈɡreɪʃən/ 积分 Chain Rule /tʃeɪn ruːl/ 链式法则 Product Rule /ˈprɒdʌkt ruːl/ 乘积法则 Quotient Rule /ˈkwoʊʃənt ruːl/ 商法则 Partial Derivative /ˈpɑrʃəl dɪˈrɪvətɪv/ 偏导数 Gradient /ˈɡreɪdiənt/ 梯度 Divergence /daɪˈvɜrdʒəns/ 散度 Curl /kɜrl/ 旋度 Laplace Transform /ləˈplɑs ˈtrænsˌfɔrm/ 拉普拉斯变换 Fourier Transform /ˈfʊr.i.eɪr ˈtrænsˌfɔrm/ 傅里叶变换 Convergence /kənˈvɜrdʒəns/ 收敛 Divergence (series) /daɪˈvɜrdʒəns/ 发散 Antiderivative /ˌæntaɪdɪˈrɪvətɪv/ 反导数 Indefinite Integral /ɪnˈdɛfɪnɪt ˈɪntɪɡrəl/ 不定积分 Definite Integral /ˈdɛfɪnɪt ˈɪntɪɡrəl/ 定积分 Fundamental Theorem of Calculus /ˌfʌndəˈmɛntəl ˈθiəm əv ˈkælkjələs/ 微积分基本定理 Mean Value Theorem /min ˈvælju ˈθiərəm/ 平均值定理 Taylor Series /ˈteɪlər ˈsɪriz/ 泰勒级数 Maclaurin Series /məˈklɔrɪn ˈsɪriz/ 麦克劳林级数 L’Hospital’s Rule /loʊˈpɪtəlz ruːl/ 洛必达法则 Inflection Point /ɪnˈflɛkʃən pɔɪnt/ 拐点 Critical Point /ˈkrɪtɪkəl pɔɪnt/ 临界点 Asymptote /ˈæsɪmˌtoʊt/ 渐近线 Slope /sloʊp/ 斜率 Concavity /kənˈkeɪvɪti/ 凹凸性 Infinitesimal /ˌɪnfɪnɪˈtɛsɪməl/ 无穷小 Arc Length /ɑrk lɛŋkθ/ 弧长 Surface Area /ˈsɜrfəs ˈɛriə/ 表面积 Volume /ˈvɑljum/ 体积 Parametric Equations /ˌpærəˈmɛtrɪk ɪˈkweɪʒənz/ 参数方程 Polar Coordinates /ˈpoʊlər kəʊˈɔrdɪnɪts/ 极坐标 Vector Field /ˈvɛktər fild/ 向量场 Line Integral /laɪn ˈɪntɪɡrəl/ 线积分 Surface Integral /ˈsɜrfəs ˈɪntɪɡrəl/ 面积分 Green’s Theorem /ɡrinz ˈθiərəm/ 格林公式 Stokes’ Theorem /stoʊks ˈθiərəm/ 斯托克斯定理 Divergence Theorem /daɪˈvɜrdʒəns ˈθiərəm/ 散度定理 线性代数Linear algebra 英文单词 发音 (美式) 中文含义 Linear Algebra /ˈlɪniər ˈælʤəbrə/ 线性代数 Vector /ˈvɛktər/ 向量 Scalar /ˈskeɪlər/ 标量 Matrix (plural: Matrices) /ˈmeɪtrɪks/ ( /ˈmeɪtrɪˌsiz/ ) 矩阵 Determinant /dɪˈtɜrmənənt/ 行列式 Eigenvalue /ˈaɪɡənˌvælju/ 特征值 Eigenvector /ˈaɪɡənˌvɛktər/ 特征向量 Dot Product /dɒt ˈprɒdʌkt/ 点积 Cross Product /krɒs ˈprɒdʌkt/ 叉积 Inner Product /ˈɪnər ˈprɒdʌkt/ 内积 Outer Product /ˈaʊtər ˈprɒdʌkt/ 外积 Norm /nɔrm/ 范数 Orthogonal /ɔrˈθɒɡənəl/ 正交的 Basis /ˈbeɪsɪs/ 基 Rank /ræŋk/ 秩 Null Space /nʌl speɪs/ 零空间 Column Space /ˈkɑləm speɪs/ 列空间 Row Space /roʊ speɪs/ 行空间 Linear Transformation /ˈlɪniər ˌtrænsfərˈmeɪʃən/ 线性变换 Inverse Matrix /ˈɪnvɜrs ˈmeɪtrɪks/ 逆矩阵 Singular Value Decomposition /ˈsɪŋɡjələr ˈvælju ˌdiːkəmˌpoʊˈzɪʃən/ 奇异值分解 Diagonalization /daɪˌæɡənəlaɪˈzeɪʃən/ 对角化 Symmetric Matrix /sɪˈmɛtrɪk ˈmeɪtrɪks/ 对称矩阵 Positive Definite Matrix /ˈpɑzɪtɪv ˈdɛfɪnɪt ˈmeɪtrɪks/ 正定矩阵 Trace /treɪs/ 迹 LU Decomposition /ɛl juː ˌdiːkəmˌpoʊˈzɪʃən/ LU 分解 QR Decomposition /kjuː ɑr ˌdiːkəmˌpoʊˈzɪʃən/ QR 分解 Vector Space /ˈvɛktər speɪs/ 向量空间 Span /spæn/ 张成空间 Projection /prəˈʤɛkʃən/ 投影 Subspace /ˈsʌbˌspeɪs/ 子空间 Linear Independence /ˈlɪniər ˌɪndɪˈpɛndəns/ 线性独立 Linear Dependence /ˈlɪniər dɪˈpɛndəns/ 线性相关 平面几何 英文单词 发音 (美式) 中文含义 Point /pɔɪnt/ 点 Line /laɪn/ 线 Line Segment /laɪn ˈsɛɡmənt/ 线段 Ray /reɪ/ 射线 Angle /ˈæŋɡəl/ 角 Vertex /ˈvɜrˌtɛks/ 顶点 Parallel /ˈpærəˌlɛl/ 平行 Perpendicular /ˌpɜrpənˈdɪkjələr/ 垂直 Triangle /ˈtraɪˌæŋɡəl/ 三角形 Equilateral Triangle /ˌiːkwəˈlætərəl ˈtraɪˌæŋɡəl/ 等边三角形 Isosceles Triangle /aɪˈsɒsɪˌliːz ˈtraɪˌæŋɡəl/ 等腰三角形 Scalene Triangle /ˈskeɪˌlin ˈtraɪˌæŋɡəl/ 不等边三角形 Right Triangle /raɪt ˈtraɪˌæŋɡəl/ 直角三角形 Quadrilateral /ˌkwɑdrəˈlætərəl/ 四边形 Rectangle /ˈrɛkˌtæŋɡəl/ 矩形 Square /skwɛr/ 正方形 Parallelogram /ˌpærəˈlɛləˌɡræm/ 平行四边形 Rhombus /ˈrɒmbəs/ 菱形 Trapezoid /ˈtræpəˌzɔɪd/ 梯形 Circle /ˈsɜrkəl/ 圆 Radius /ˈreɪdiəs/ 半径 Diameter /daɪˈæmɪtər/ 直径 Circumference /sərˈkʌmˌfərəns/ 圆周 Arc /ɑrk/ 弧 Chord /kɔrd/ 弦 Tangent /ˈtænʤənt/ 切线 Sector /ˈsɛktər/ 扇形 Polygon /ˈpɑlɪˌɡɑn/ 多边形 Pentagon /ˈpɛntəˌɡɑn/ 五边形 Hexagon /ˈhɛksəˌɡɑn/ 六边形 Heptagon /ˈhɛptəˌɡɑn/ 七边形 Octagon /ˈɑktəˌɡɑn/ 八边形 Nonagon /ˈnɑnəˌɡɑn/ 九边形 Decagon /ˈdɛkəˌɡɑn/ 十边形 Congruent /ˈkɑŋɡruənt/ 全等的 Similar /ˈsɪmələr/ 相似的 Area /ˈɛriə/ 面积 Perimeter /pəˈrɪmɪtər/ 周长 Volume /ˈvɑljum/ 体积 Angle Bisector /ˈæŋɡəl ˈbaɪˌsɛktər/ 角平分线 Midpoint /ˈmɪdˌpɔɪnt/ 中点 Median /ˈmidiən/ 中线 Altitude /ˈæltɪˌtud/ 高 解析几何 英文单词 发音 (美式) 中文含义 Coordinate /kəʊˈɔːrdənɪt/ 坐标 Cartesian Plane /kɑrˈtiːʒən pleɪn/ 笛卡尔平面 Origin /ˈɔːrɪdʒɪn/ 原点 Axis (plural: Axes) /ˈæksɪs/ ( /ˈæksiːz/ ) 轴（复数：轴线） X-axis /ɛks ˈæksɪs/ X轴 Y-axis /waɪ ˈæksɪs/ Y轴 Quadrant /ˈkwɑːdrənt/ 象限 Slope /sloʊp/ 斜率 Intercept /ˈɪntərˌsɛpt/ 截距 Equation /ɪˈkweɪʒən/ 方程 Linear Equation /ˈlɪniər ɪˈkweɪʒən/ 线性方程 Distance Formula /ˈdɪstəns ˈfɔːrmjʊlə/ 距离公式 Midpoint Formula /ˈmɪdˌpɔɪnt ˈfɔːrmjʊlə/ 中点公式 Circle /ˈsɜːrkəl/ 圆 Radius /ˈreɪdiəs/ 半径 Diameter /daɪˈæmɪtər/ 直径 Circumference /sərˈkʌmfərəns/ 圆周 Parabola /pəˈræbələ/ 抛物线 Vertex /ˈvɜːrtɛks/ 顶点 Focus (plural: Foci) /ˈfoʊkəs/ ( /ˈfoʊsaɪ/ ) 焦点（复数：焦点） Directrix /daɪˈrɛktrɪks/ 准线 Ellipse /ɪˈlɪps/ 椭圆 Major Axis /ˈmeɪdʒər ˈæksɪs/ 长轴 Minor Axis /ˈmaɪnər ˈæksɪs/ 短轴 Hyperbola /haɪˈpɜːrbələ/ 双曲线 Asymptote /ˈæsɪmˌtoʊt/ 渐近线 Conic Sections /ˈkɒnɪk ˈsɛkʃənz/ 圆锥曲线 Focus-Directrix Property /ˈfoʊkəs daɪˈrɛktrɪks ˈprɒpərti/ 焦点-准线性质 Locus /ˈloʊkəs/ 轨迹 Transformation /ˌtrænsfərˈmeɪʃən/ 变换 Translation /trænsˈleɪʃən/ 平移 Rotation /roʊˈteɪʃən/ 旋转 Reflection /rɪˈflɛkʃən/ 反射 Scaling /ˈskeɪlɪŋ/ 缩放 Vector /ˈvɛktər/ 向量 Magnitude /ˈmæɡnɪˌtjuːd/ 大小，量级 Direction /dəˈrɛkʃən/ 方向 Dot Product /dɒt ˈprɒdʌkt/ 点积 Cross Product /krɒs ˈprɒdʌkt/ 叉积 希腊字母 希腊字母 发音 (美式) 中文名称 Α α /ˈælfə/ 阿尔法 Β β /ˈbeɪtə/ 贝塔 Γ γ /ˈɡæmə/ 伽马 Δ δ /ˈdɛltə/ 德尔塔 Ε ε /ˈɛpsɪlɒn/ 艾普西龙 Ζ ζ /ˈzɛtə/ 泽塔 Η η /ˈiːtə/ 艾塔 Θ θ /θiːtə/ 西塔 Ι ι /ˈaɪəˌtə/ 艾欧塔 Κ κ /ˈkeɪpə/ 卡帕 Λ λ /ˈlæmbdə/ 兰姆达 Μ μ /ˈmuː/ 缪 Ν ν /ˈnuː/ 纽 Ξ ξ /ˈzaɪ/ 克西 Ο ο /ˈoʊmɪkrɒn/ 欧米茄 Π π /ˈpaɪ/ 派 Ρ ρ /ˈroʊ/ 罗 Σ σ/ς /ˈsɪɡmə/ 西格玛 Τ τ /ˈtaʊ/ 陶 Υ υ /ˈjuːpɪˌsɪlɒn/ 宇普西龙 Φ φ /ˈfaɪ/ 菲 Χ χ /ˈkaɪ/ 卡伊 Ψ ψ /ˈsaɪ/ 普赛 Ω ω /ˈoʊmɪɡə/ 欧米茄 杂项 slope = up divided by across 斜率 = 垂直/水平

线性代数 概率论&统计 Z-score标准分数 在统计学中，Z-score（标准分数）是一种用于衡量数据点与均值之间距离的标准化方法。它表示数据点与均值之间的距离，以标准差为单位。Z-score 可以帮助我们理解数据点在分布中的相对位置，并且在**比较不同数据集，识别异常值（z-score较大的值）**时非常有用。 ...

空格 $a\ b$ 表示空格，1/3m宽度 $a;b$ 表示中等空格，2/7m宽度 极限/微积分 $\exists\ \xi \in S$ $\forall\ x\in S$ 导数 (Derivative), 连续(Continuity), 极限(Limit, Left-hand Limit, Right-hand Limit)： $$ f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \ \lim_{x \to a^-} f(x) \ \lim_{x \to a^+} f(x) \ \lim_{x \to \infty} f(x) \ \lim_{x \to a} f(x) = 0 $$ ...

基础 七大定理 Dedekind分割定理 确界定理 Cauchy定理 闭区间套定理 单调有界定理 Heine-Borel定理(有限覆盖定理) Bolzano-Weierstrass定理 以上7条定理是相互等价的，它们描述了实数集的一些基本性质和结构。 ...