1. 三角函数
1.1 基础定义
- $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
- $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
1.2 基本恒等式
毕达哥拉斯恒等式: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
和差公式:
\[ \begin{aligned} \sin(\alpha \pm \beta) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha \pm \beta) &= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ \tan(\alpha \pm \beta) &= \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \end{aligned} \]
- 由和差公式推导出来的倍角和半角公式公式:
\[ \begin{aligned} \sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \\ \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta \\ \tan 2\theta &= \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \\ \sin^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{1 - \cos \theta}{2} \\ \cos^2 \frac{\theta}{2} &= \frac{1 + \cos \theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \\ \sin \alpha \sin \beta &= \frac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] \\ \cos \alpha \cos \beta &= \frac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] \\ \sin \alpha \cos \beta &= \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] \\ \end{aligned} \]
2. 不等式
2.1 三角不等式
对于任意实数 $a, b$，有：
\[ |a + b| \leq |a| + |b| \]
几何意义：两点之间的距离不超过经过第三点的路径长度。
2.2 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy–Schwarz Inequality）
对于实数或复数序列 ${a_i}, {b_i}$，有：
\[ \left|\sum_{i=1}^n a_i b_i\right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2} \]
等号成立当且仅当两个向量线性相关。
函数形式：对于可积函数 $f, g$，有：
\[ \left|\int f(x) g(x) dx \right| \leq \sqrt{\int |f(x)|^2 dx} \cdot \sqrt{\int |g(x)|^2 dx} \]
2.3 均值不等式（AM-GM不等式）
对于非负实数 $a_1, a_2, \dots, a_n \geq 0$，有：
\[ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \]
等号成立当且仅当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$。
2.4 赫尔德不等式（Hölder Inequality）
对于 $p, q > 1$，且 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，有：
\[ \sum_{i=1}^n |a_i b_i| \leq \left(\sum_{i=1}^n |a_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} \cdot \left(\sum_{i=1}^n |b_i|^q\right)^{\frac{1}{q}} \]
2.5 明可夫斯基不等式（Minkowski Inequality）
对于 \(p \geq 1\)，有：
\[ \left(\sum_{i=1}^n |a_i + b_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\sum_{i=1}^n |a_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\sum_{i=1}^n |b_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} \]
2.6 伯努利不等式
对于实数 \(x \geq -1\) 和整数 \(r \geq 0\)，有：
\[ (1 + x)^r \geq 1 + r x \]
等号成立当且仅当 \(x = 0\) 或 \(r=0,1\)。
2.7 切比雪夫不等式（Chebyshev’s Inequality）
对于两个同向排序的数列 \(a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n\) 和 \(b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n\)，有：
\[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i b_i \geq \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i\right) \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n b_i\right) \]
2.8 詹森不等式（Jensen’s Inequality）
对于凸函数 \(f\) 和实数权重 \(a_i \geq 0\) 满足 \(\sum a_i = 1\)，有：
\[ f\left(\sum_{i=1}^n a_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n a_i f(x_i) \]