随机变量random variable
随机random vs. 规律deterministic
不同的思维决定了不同的策略，例如红球R和绿球G以RRGRRGRRG的方式出现，很多时候我们会认为规律的结构。但是如果以随机的角度来看，这个事情也是有可能发生的，概率为$P(\underline{RRGRRGRRG})=\left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)\right]^3=\underline{0.325%}$。
Q1: 丢硬币正面的概率是$\frac{2}{3}$, 如何预测每次的结果使得猜中的概率最大？ A1: 永远猜正面 证明: 设硬币的概率分布$X_{i}$, 预测策略的概率分布$Y_{i}$分别为:
$$
\underline{X_i}=\left{
\begin{array}
{ll}\underline{R}, & \mathrm{withprob.}\underline{p}, \
\underline{G}, & \mathrm{withprob.}\underline{1-p}.
\end{array}\right. \
\underline{Y_i}=\left{
\begin{array}
{ll}\underline{R}, & \mathrm{withprob.}\underline{q}, \
\underline{G}, & \mathrm{withprob.}\underline{1-q}.
\end{array}\right.
$$
则有:
$$ \begin{array} {rcl}P(\underline{X_{i}=Y_{i}}) & = & P(\underline{(X_{i},Y_{i})}\in{\underline{(G,G),(R,R)}}) \ & = & pq+(1-p)(1-q) \ & = & 1-p + (2p - 1)q \end{array} $$
因此有$P(\underline{X_{i}=Y_{i}})$最大值为：
$$ \underline{q}=\left{ \begin{array} {ll}\underline{1}, & \mathrm{if}p>0.5, \ \underline{0}, & \mathrm{if}\underline{p<0.5}. \end{array}\right. $$