实数理论基础 |

基础

以上7条定理是相互等价的，它们描述了实数集的一些基本性质和结构。

定义1：设$S$使一个数集（R的子集），如果$\exists \xi \in S$，使得$\forall x\in S,x\le \xi$,则称$\xi$是数集$S$的最大数，记为:$\xi =max S$

如果$S$是非空有限集(只包含有限个数)时,$min S,max S$显然存在.当$S$是无限集时,最大数和最小数则不一定存在。

例如：集合$A={x\mid 0\le x<1}$没有最大数.

证明：假设集合存在最大数$\beta$, 则有$\beta^{’}=\frac{1+\beta}{2}\in[0,1)$ 比$\beta$大，故矛盾

确界的定义：设$S$是一个非空数集,如果$\exists M \in R: \forall x\in S,x\le M$,则称$M$为$S$的一个上界.类似地可以定义下界.当集合$S$的上下界均存在时,称$S$为有界集.

设非空数集$S$全体上界组成的集合为$U$,$U$没有最大数,但一定有最小数,这个最小数称为$S$的上确界,记为$\beta =sup\ S$.类似地,下确界为全体下界的最大数,记为$\alpha = inf\ S$.

有理数集的稠密性稠密性的概念：在实数轴上，任意两个不相等的有理数之间都存在另一个有理数。换句话说，对于任意两个有理数$a$和$b$（其中$a < b$），总存在一个有理数$c$，使得 $a < c < b$。这意味着有理数在实数轴上是密集分布的，无论两个有理数之间的距离有多小，总能够找到另一个有理数证明：取$c=\frac{a+b}{2}$即可
有理数不具有连续性，比如$\sqrt{2}$就不是有理数
有理数集的完备性 完备性（Completeness）是数学分析中的一个重要概念，通常指的是一个度量空间中的每一个柯西序列都收敛于该空间中的一个点。简而言之，完备性确保了在该空间中不会出现“缺失点”的情况，即所有的极限点都包含在该空间内。 完备性的定义: 在一个度量空间 $(X, d)$ 中，如果对于任意的柯西序列 ${x_n}$，存在一个点 $x \in X$ 使得 ${x_n}$ 收敛到 $x$，则称该度量空间是完备的。
- 柯西序列：一个序列 ${x_n}$ 被称为柯西序列，如果对于任意的 $\epsilon > 0$，存在一个正整数 $N$，使得对于所有的 $m, n > N$，有 $d(x_m, x_n) < \epsilon$。
有理数集 $\mathbb{Q}$ 是不完备的。虽然有理数集在数学中非常重要，但它并不满足完备性的条件。具体来说，有理数集中的柯西序列不一定收敛到有理数。

完备性是许多重要定理和结果的基础，例如：
闭集定理：在完备度量空间中，闭集是完备的。
巴拿赫定理：在完备度量空间中，连续映射的固定点存在性定理。
希尔伯特空间：完备的内积空间。

我们无法证明实数是完备的，相反是为了构造一个完备的集合而构造了实数。