空格
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极限/微积分
$\exists\ \xi \in S$
$\forall\ x\in S$
导数 (Derivative), 连续(Continuity), 极限(Limit, Left-hand Limit, Right-hand Limit)：
$$ f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \ \lim_{x \to a^-} f(x) \ \lim_{x \to a^+} f(x) \ \lim_{x \to \infty} f(x) \ \lim_{x \to a} f(x) = 0 $$
积分(Integral):
$$ \int f(x) , dx \ \int_{a}^{b} f(x) , dx $$
微分(Differential), 泰勒级数:
$$ dy = f’(a) , dx \ f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + \frac{f’’(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f’’’(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots $$
偏导（Partial Derivative）
$$ \frac{\partial f}{\partial x} \ \frac{\partial f}{\partial y} $$
多重积分 (Multiple Integrals)
$$ \iint_D f(x, y) , dA \ \iiint_V f(x, y, z) , dV $$
矩阵/向量
矩阵定义:
$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$
矩阵转置:
$$ A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \ a_{12} & a_{22} & a_{32} \ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} $$
矩阵乘法:
$$ C = AB \ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} $$
逆矩阵: $$ AA^{-1} = A^{-1}A = I $$
向量定义:
$$ \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix} $$
向量加法:
$$ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_1 \ u_2 \ u_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \ u_2 + v_2 \ u_3 + v_3 \end{pmatrix} $$
向量点积:
$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 $$
向量叉积:
$$ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \ u_3 v_1 - u_1 v_3 \ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{pmatrix} $$
向量长度:
$$ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} $$
概率与统计
单个随机变量 $X$ 的期望、方差，标准差
$$ \mathbb{E}[X] = \sum_{i} x_i P(X = x_i) \ \text{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] \ \sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)} $$
两个随机变量$X$ 和 $Y$ 的协方差，相关系数
$$ \text{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])(Y - \mathbb{E}[Y])] \ \rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} $$
常见分布：二项分布，正态分布
$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \quad \text{for } k = 0, 1, 2, \ldots, n f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $$
大数定理: 如果 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立同分布的随机变量，其期望值为 $\mu$，则：
$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{n \to \infty} \mu $$
中心极限定理: 如果 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立同分布的随机变量，其期望值为 $\mu$，标准差为 $\sigma$，则：
$$ \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, 1) \quad \text{as } n \to \infty $$
贝叶斯定理:
$$ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$